考虑极化状态相同的两信道（泵浦-探测波结构）光传输系统，为表述方便称探测波信道、泵浦波信道分别为信道一和信道二。推导反映XPM过程的频域传递函数H（w）如所示，考虑泵浦波信道SPM、GVD共同作用时，推导反映XPM过程的频域传递函数H（w）的过程，可以分为以下四步：（a）在泵浦波信道中，对于输入的任意调制信号P2（0，t），求出经过距离Z传输后信号的频域表达式P2（Z，）。
（b）在探测波信道的Z处微段dZ内，由于XPM的作用，确定泵浦波调制信号P2（Z，）对探测波信道中PM的贡献d1XPM（Z，）。（c）在探测波信道中，XPM产生的d1XPM（Z，）通过GVD的作用转化为强度调制dP1XPM（Z，），总的强度调制P1XPM（Z，）通过对dP1XPM（Z，）从0到L积分后得到。（d）以泵浦波输入信号对P1XPM（L，）归一化即得频域传递函数H.
结合这四个步骤，下面进行具体推导并给出关键量的表达式。首先，以小信号调制为前提，并假定初始泵浦波信号无外加相位调制，当泵浦波调制信号传输到Z处时，其IM频域表达式是：P2（Z，）=P2（0，）H2（Z，）=P2（0，）（cos（qZ）+2（Z，））（1）这里，P2（0，）为P2（0，t）的傅里叶变换，H2（Z，）是考虑SPM、GVD共同作用下的泵浦波调制信号频域传递函数，其中cos（qZ），为线性项，反映的是泵浦波信号GVD的贡献，2（Z，）而为非线性项，对应泵浦波信号的SPM的贡献，且2（Z，）=2P2（0）{12+（2q）2 接下来，考虑在光纤Z处的微段dZ内，由泵浦波引起的探测波微量相移（相位调制）d1XPM（Z，），它和泵浦波P2（Z，）通过以下表达式相关联：d1XPM（Z，）=21P2（Z，）e-Ze-jZ/vg2dZ（3）式中1为信道一（探测波信道）对应的光纤非线性系数，vg2为和信道二相对应的群速度。 频域传递函数解析式简化推导一般情况下光纤通信系统的信道间隔远小于工作波长（如100GDWDM系统相邻信道间隔约0.8nm，工作波长在15301565nm范围），因此，探测波和泵浦波信道中的两个重要参量b和q相差并不大。其次，对于传输码率高达10Gb/s到40Gb/s这样的光波系统，大多采用G.655低色散光纤，以该种光纤典型参数（损耗系数=0.23dB/km，色散系数D=0.5ps/（nmkm））进行计算，可以发现b2、q2这一条件在40Gb/s传输码率以内可以得到很好的满足。*后考虑到光纤传输线路至少数十公里，所以有e-L1.综合考虑以上三个条件，式（6）将大大简化：A2a1sin（bL）-ba1cos（bL）+4b2P2（0）a21a2sin（bL）+（a1+a2）bcos（bL）a2这样，式的物理意义已非常直观，它的**部分为忽略泵浦波幅度变化时，XPM效应和探测波信道中的PM-IM效应对探测波输出端IM的贡献，第二部分对应泵浦波信道中SPM通过XPM和PM-IM后对探测波输出端IM的贡献。由三角函数的周期性可以预测，通过式反映的频域传递函数的模|H|会随参量b出现极大与极小交替变化的波动现象，考虑到b与传输码率的平方成正比，这种变化的周期是随传输码率的增长而变得越来越短的。然而，传输码率不能够无限增长，它的上限应由信道间距决定，不能超过信道所许可的传输带宽，否则会引起信道间的直接串扰。所以，在许可的传输码率范围内，是否会出现这种波动和参量bL有很大的关系。 由于在IM-DD系统中主要是归一化强度传递函数|H|（即传递函数的模）起作用；同时，在式中**部分占主导地位，下面我们给出该部分对应的强度传递函数。当调制频率与走离参量乘积较小时满足2d212，另外，在低频条件下有sin（bL）bL、cos（bL）1，此时强度传递函数为|H|1P1（0）（L-1）21D12c2（9）式（9）表明低频情况下XPM效应正比于波长的平方21、色散参数D1及调制频率的平方2且和波长间隔无关。当调制频率与走离参量乘积较大满足2d212时，此时强度传递函数为|H|41P1（0）D1sin21D1L24c表明当调制频率较高时XPM效应随着波长的平方21、色散参数D1、传输距离L及调制频率的平方2的变化呈极大与极小交替变化的波动，且波动时幅度与非线性系数1、信道一平均功率P1（0）成正比，与信道间隔、色散参量D1及调制频率均成反比。事实上，此处通过对式**部分（忽略泵浦波幅度变化）作进一步简化得到的2d212和2d212两种情况下的近似表达式和文献<3>中的结论完全一致，这一方面说明了本文解析结论的正确性，另一方面说明由于SPM的引入本文结论较文献<3>中的结论全面。 任意泵浦信号下的探测波时域波形确定方法泵浦波信道中输入任意调制信号时，其光功率可表示为：P2（0，t）=12-P2（0，）ejtd（11）其中P2（0，）为P2（0，t）的傅里叶变换。则该光波通过传递函数为H的系统后在探测波信道的输出可表示为P1（L，t）=P1（0）e-aL+P1XPM（L，t）=P1（0）e-aL+12-HP2（0，）ejtd（12）显然，XPM过程可以等效为信号通过传递函数为H的系统，可以用H来研究泵浦波信道输入为任意调制信号时的XPM情况。 结果及讨论为了检验第二节中理论的正确性，在色散位移光纤（DSF）中对本文解析结果和由耦合NLSE进行分步傅立叶法数值模拟的结果进行了比较，参照文献<3，8>，相关参量取值为：信道一的光波长、色散系数及非线性系数分别为1=1550nm，D1=0.5ps/（nmkm），1=2.43W-1km-1，色散斜率Ds=0.044ps/km/nm2，损耗系数=0.23dB/km，传输距离L=80km，泵浦波信道、探测波信道平均功率P2（0）、P1（0）除特殊声明外均为10mw. 结论本文在小信号分析前提下研究了泵浦探测波结构中群速度色散和非线性共同作用下的光信号传输情况，推导了损耗、色散、自相位调制及交叉相位调制综合作用下可用于反映交叉相位调制过程的频域传递函数；给出了在强度调制直接检测系统中当泵浦波信道中输入为任意信号时确定探测波时域波形的理论解析方法，发现泵浦波自相位调制一定程度上增大了频域传递函数，且增大程度随着调制频率、输入信号平均功率及传输距离的提高而逐渐变大。本文所得解析结果和数值仿真在小信号分析前提下能较好的吻合，对于强度调制直接检测波分复用系统的设计和分析有一定参考作用。