1速率方程组

　　在稳态情况下，工作介质为准二能级稀土粒子的单端泵浦光纤激光器速率方程组可表示为

　　d P p（ z） / d z =Γp <σtp N （ z） -σap N 0 > P p（ z） -αp P p（ z）（1）±d P±s（ z） / d z =Γs <σts N （ z） -σas N 0 > P±s（ z） -αs P±s（ z）（2）N （ z） /τ=Γp <σap N 0 -σtp N （ z） > P p（ z） / hAνp +Γs <σas N 0 -σts N （ z） >< P + s（ z） + P - s（ z） >/ hAνs（3）式中：上标“±”表示光传播的方向；下标“p”和“s”分别表明为泵浦光和信号光参量；P p和P s分别表示泵浦光和信号光功率；Γ为光场与纤芯的交叠因子； N 0为掺杂浓度；τ为上能级粒子数寿命；σt =σa +σe，σa为吸收截面，σe为发射截面；h为普朗克常数；ν为光波频率； A为纤芯面积。除了Pp（0）为已知外，激光满足的边界条件为P + s（L） R 2 = P - s（L） ，

　　P + s（0） = P - s（0） R 1（4）式中：L为光纤激光器长度， R 1和R 2分别为信号光在z = 0和L处反射镜的反射率。根据信号光的两个方程，可以证明P + s（z） P - s（z）为一个常数，设为C 2。于是，（4）式可以表示为P + s（L） = C/ R 1/ 2 2，

　　P - s（L） = CR 1/ 2 2，

　　P + s（0） = CR 1/ 2 1，

　　P - s（0） = C/ R 1/ 2 1（5）

　　2阈值泵浦功率求解

　　方程（2）两边同时除以Ps（z） ，积分后可得到NL =∫L 0 N （ z）d z = g th L/Γsσts（6）在推导（6）式的过程中，我们运用了（5）式，并且（6）式中g th为g th = - ln（ R 1 R 2） / 2 L +Γsσas N 0 +αs（7）同理，由（1）式和（6）式可得P p（L） / P p（0） = exp < （βg th -γ） L >（8）式中β=Γpσtp /Γsσts，γ=Γpσap N 0 +αp（9）当激光器运行在阈值时，P±s（z）可以忽略，于是由（3）式可得N （ z） =ΓpσapτN 0 P p（ z） / < hAνp +ΓpσtpτP p（ z） >（10）将（10）式代入（1）式，可以得到d f / d z = - f （γ+αp f ） / （1 + f ）（11）其中f =ΓpσtpτP p（z） / hAνp。对（11）式积分可得< f （ z） / f （0） >αp /Γpσap N 0 <γ+αp f （ z） >/ <γ+αp f （0） > = exp（ -γαp z/Γpσap N 0）（12）合并（8）和（12）两式，则可得到阈值泵浦功率为P th = hγAνp（1 - Q 1） /Γpσtpταp Q 1（1 - Q 2）（13）其中Q 1 = exp（ -βαp g th L/Γpσap N 0） ，

　　Q 2 = exp < （βg th /Γpσap N 0 - 1）γL >（14）另外，合并（1）和（2）两式，消去N （ z） ，完成积分，则可以得到用P p（z） / P p（0）来表示的P + s（z） / P + s（0）和P - s（z） / P - s（L）的表达式，即P + s（ z） / P + s（0） = < P p（ z） / P p（0） > 1/βexp { <γ/β- （Γsσas N 0 +αs） >z} ，P - s（ z） / P - s（L） = < P p（ z） / P p（0） > - 1/βexp{ - - <γ/β- （Γsσas N 0 +αs） >z}（15）可见，在未忽略损耗的情况下，我们可得到阈值泵浦情况下的掺二能级稀土光纤激光器的速率方程组的解析解。

　　3讨论和分析

　　由（13）式可以发现，P th不随R 1与R 2的交换而改变，说明阈值与泵浦光传播方向无关。另外，当掺杂光纤长度足够短时，可能会出现即使所有的掺杂粒子均被泵浦到激光上能级（即满足条件Γs N 0σes≤- ln （R 1 R 2） / 2 L +αs） ，光纤仍然可能无法提供足够的增益来补偿腔损耗。此时，无论有多强的泵浦光，激光器均可能无法振荡。因而，从数学上看，可以认为光纤长度至少应大于< - ln（R 1 R 2） / 2 >/ （σesΓs N 0 -αs）才可振荡。鉴于此，可利用Pth趋于无穷大而得到*短光纤长度Lmin.由（13）和（14）式可得L min = < - ln（ R 1 R 2） / 2 >/ { < （σesσap -σasσep） / （σap +σep） >Γs N 0 -αs }（16）

　　（16）式表明了实现激光振荡的前提条件是σesσap >σasσep。若激光波长是经过窄带镜面反射，则L须大于（16）式所确定的值。同时可看出，考虑损耗系数αs的*短光纤长度会比未考虑时要大。

　　3. 1阈值泵浦功率分析

　　根据（13）式，我们可以分析阈值与吸收截面和发射截面的关系。对于掺Yb 3 +的双包层光纤激光器，当泵浦波长为975 nm时，其截面为*大值，并且阈值*低。因此，在实验中，通常选择中心波长为975 nm的泵浦光作为泵浦源。

　　在1中，我们给出了阈值泵浦功率Pth随光纤长度L变化的关系曲线，其中泵浦波长为975 nm ，振荡波长分别为1 060 ，1 070 ，1 090和1 100 nm.计算所用数据为：

　　λp = 975 nm （σap = 25×10 - 25 m 2，σep = 25×10 - 25 m 2） ，λs = 1 060 nm（σas = 6×10 - 27 m 2，σes = 3. 5×10 - 25 m 2） ，λs = 1 070 nm（σas = 3. 0×10 - 27 m 2，σes = 2. 5×10 - 25 m 2） ，λs = 1 090 nm （σas = 1. 4×10 - 27 m 2，σes = 2×10 - 25 m 2） ，λs = 1 100 nm （σas = 1×10 - 27 m 2，σes = 2×10 - 25 m 2） ，τ= 1×10 - 3 s ，Гs = 0. 82 ，Гp = 0. 001 2 ，αp = 3×10 - 3 m - 1，αs = 5×10 - 3 m - 1，h = 6. 626×10 - 34 J s ，光纤中光传播的速度。从图中可看到，在给定的振荡波长条件下，所有的曲线在其对应*短光纤长度处的值趋于无穷大。同时可见，存在一个可以使阈值*低的*佳光纤长度Lopt，且不同的振荡波长对应不同的*低阈值和*佳长度。对于1 100 nm波长，L opt约为18 m.此外，还可以看到，对于短光纤器件来说，运行波长增大时，阈值随之增大；对于长光纤器件来说，阈值随振荡波长增加而降低。

　　3. 2泵浦光在光纤中的变化情况

　　根据（12）式我们可得（γ/ P th） < P（ z） / P th >αp /Γpσap N 0 + （αpΓpσtpτ/ hνp A） < P（ z） / P th >γ/Γpσap N 0 =（γ/ P th +αpΓpσtpτ/ hνp A）exp（ -γαp z/Γpσap N 0）（17）虽然（17）式是关于P p（z） / P th的隐含表达式，但经过处理后可以用P p（z）的显函形式表达z，即z = （ -Γpσap N 0 /γαp） ln { < hνp Aγ/ （ hνp Aγ+αpΓpσtpτP th） >< P p（ z） / P th >αp /Γpσap N 0 + <αpΓpσtpτP th / （ hνp Aγ+αpΓpσtpτP th） >< P p（ z） / P th >γ/Γpσap N 0 }（18）根据（18）式，我们给出了泵浦光波长为975 nm和激光振荡波长为1 100 nm情况下，在不同长度光纤激光器中，归一化泵浦光功率比值P p（z） / P th随光纤位置z变化的关系曲线，如2所示。图中所用数据同1.在2中，我们不但可以看到在光纤中泵浦光功率随光纤位置z变化的情况，还可以看到输出端的剩余泵浦光功率随光纤长度增大而下降的情况。对于光纤长度为5 m的激光器，其输出端P p（z） / P th约为58 %；在L为18 m时，该值降到大约为12 %；在L为50 m时，其值仅约为3 %.

　　3. 3光纤中上能级粒子数变化情况

　　同理，我们将（10）式代入（18）式，可得光纤位置z与归一化粒子数N （ z） / N 0的关系式为z = （ -Γpσap N 0 /γαp）×ln{ < hAνpγ/ （ hAνpγ+αpΓpσtpτP th） >< N （ z） / N 0 >αp /Γpσap N 0（ hAνp /ΓpτP th）αp /Γpσap N 0 / <σap -σtp N （ z） / N 0 >αp /Γpσap N 0 + <σpΓpσtpτP th / （ hAνpγ+αpΓpσtpτp th） >< N （ z） / N 0 >γ/Γpσap N 0（ hAνp /ΓpτP th）γ/Γpσap N 0 / <σap -σtp N （ z） / N 0 >γ/Γpσap N 0 }（19）根据（19）式，我们给出了在不同长度的激光器中，N （ z） / N 0随z变化的关系曲线，如所示。所用计算数据同。从可看到， N （ z） / N 0与z成指数变化关系，且*佳光纤长度（18 m）对应的初始值相对*小。光纤长度越长，其输出端面的N （ z） / N 0值越小；光纤长度越短， N （ z） / N 0在整个长度分布范围内的平均值越大。

　　3. 4与已有结果的比较为了便于和已有的结果相比较，我们可将（1）～（3）式相加，得到N （ z） /τ+ < d P p（ z） / d z >/ hAνp + < d P + s（ z） / d z - d P - s（ z） / d z >/ hAνs = - （αp / hAνp） P p（ z） - （αs / hAνs） < P + s（ z） + P - s（ z） >（20）根据G.J . Hu等<9 >在忽略αs和αp的近似条件，可以得到P H th = （ hνp A g′th L/Γsσtsτ） / { 1 - exp < （βg′th -Γpσap N 0） L >}（21）式中：g′th = - ln（R 1 R 2） / 2 L +Γsσas N 0，也就是g′th = g th -αs。

　　根据Kelson等的近似，在忽略上能级粒子数N的情况下，从（1）式可得到P K p（z）= P K p（0） exp （ -γz）。

　　4激光器阈值功率归一化值随掺杂浓度变化的关系曲线在同时忽略αs和N的情况下，可得其对应的阈值功率表达式为P K th = （ hνp Aγg′th L/ΓpΓsσtsσap N 0τ） / < 1 - exp（ -γL ） >（22）根据（13）式、（21）式和（22）式，我们可以给出阈值功率归一化值（P th - P j th） / P th（j = K， H）随掺杂浓度变化的关系曲线，如所示。计算数据为：

　　λp = 975 nm ，λs = 1 100 nm ，τ= 0. 77×10 - 3 s ，Гs = 0. 8 ，Гp = 0. 003 5 ，A = 1. 96×10 - 11 m 2，R1= 0。

　　99， R 2 = 0. 04 ，其它数据同。图中显示，掺杂浓度越大，不同近似条件所得的结果与本文的结果相差越小。对于给定L = 20 m的光纤，在较低掺杂浓度时，G.J . Hu等人的近似理论值与本文结果较为接近，但当浓度超过某一值时， Kelson等人的近似值却与本文结果更为接近。同时可知，在给定范围内，本文所得结果P th的值比已有文献所作近似解析结果要高出约2 %～10 %。比照文献<9 >的实验数据比理论数据高出百分比的平均值约为21 % ，可见本文的P th理论值虽然略小于实测值（这是因为方程中未考虑自发辐射等因素的缘故） ，但比起其它理论方法的结果却更接近实测值。

　　4结论

　　在未忽略损耗的情况下，我们对适用于掺准二能级稀土粒子光纤激光器的速率方程组进行了解析求解，求出了阈值泵浦光功率的显函解析表达式。并在此基础上求出了随光纤位置变化的泵浦光功率的隐函数表达式，也得到了正向及反向激光功率随光纤位置变化的解析解和随光纤位置变化的上能级粒子数的解析解。并将本文的结果和已有结果作了比较。分析结果表明：各种近似条件下得出的解析结果都因忽略自发辐射等原因而低估了阈值泵浦光功率，但本文的结果*接近实验结果。